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Derivación implícita
Si la relación entre x e y vienne dada por una función no depejada para y, se dice que y es una función implicita de x.
Suele ocurrir que no intersa, o no es possible, depejar y para obtenarla como función explícita de x. En este caso, se deriva término, considerando y como función de x. Lo escribes con el operador diferencial como
donde este símbolo significa "tomar la derivada de...".
Explicación
La regla de la cadena se utiliza extensivamente en la forma
para determinar las derivadas de los términos con y en él. A veces es simplemente más fácil distinguir una función implícita que explícita.
Ejemplo 1
La función f (x) = xx no puede fácilmente se deriva después de x, ya que la base y el exponente son variable. Primero eliminamos el exponente, para tomar el logaritmo
que convertimos a
Ahora derivamos implícitamente ambos lados después de x
El lado izquierdo se puede calcular usando la regla de la cadena
La derivada del logaritmo y la regla del producto da
Multiplicando por y da
Y fijar otra vez y = xx, entonces la solución es
Ejemplo 2
El círculo con el radio r está dada por la ecuación x2 + y2 = r2. Obtenidos por implícitamente derivar
Se deduce que la tangente al círculo en el punto (x, y) tiene la pendiente .
Ejemplo 3
La función x y – 3x – 2y + 5 = 0 derivando implícamente
Entonces